Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

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LIVRE III. - CHAP. VII.

presenter que si l'on a
P -= P
q ql
Sapposons cette condition remplie, et reprenons les formules
deja demon trees
X -- iY = if ( u) du -+- f Ji (ti) dul,
z ='u z, (l) du.- jt /l ^(iii)a^1,
qui donnent
(22) dlZ - u d(X - iY) = (i - )) (.i L) dit.
Pour resoudre la question proposee, nous couperons la surface
par le plan
X - iY =,
ofi a designe une constante quelconque et nous chercherons s'il
existe, dans ce plan, un point de la surface a distance finie provenant de valeurs infiniment petites de ui et de ui,.
Si nous substituons la valeur oa de X - iY dans la premiere des
formules (19), nous aurons une relation entre u et u1 qui nous
donnera pour u un certain nombre de developpements en serie
suivant les puissances positives de ut, developpements dont les
coefficients pourront contenir c, a partir d'un certain rang. II
faudra que l'une au moins de ces valeurs de u, portee dans les expressions de Z et de X + iY, donne des developpements de ces
quantites demeurant finis pour ut= o et ne contenant, par
consequent, aucune puissance negative de u,. Si l'on se reporte
a la formule (22) et si l'on y fait
X- iY=, d(X - iY) o,
on en deduira
dZ
- (it,- it) ^Ji(ui).
Tous les termes de Z etant, par hypothese, de degre positif, dne contiendra que des termes de degre superieur a - et, si l'on
remarque que le degre de S,(u,) est p - 3, on est conduit a
l'inegalite
degre (u - ul) -- -- - 3 > -I,
ql