Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

LES SURFACES MlIN1IMA ALGEBRIQUES. 381
et (21 ) en y supprimant tons les termes de decgre' positif, qui s'annulent et sont ne'gtigeables lorsque u et it, deviennent inifiniment
petits.
242. Les formules pre'eedentes e6tant ktablies, supposons d'abord
qu'auLiune des detux courbes (F), (F, ) ne soiL tangente au plan de
l'infini. On aura alors
P 1 PI
q q1
Lorsque it et it, tendront vers zero, Z et X +i.Y auront zero pour
lhmite. Quant 'a X - i Y, conime iA pre'sente plusieuirs termies infinis, les uns contenant it, les autres contenaDt itl1, il pourra
prendre toutes les -valeurs possibles. En e'galant, en effet, la valeur
de X - Y 'a une constante quelconqjue, on obtient une equation
q ui adruet des solutions pour lesquelle's it et it, souL aussi petits
clu'on le veut; car, si l'on y regarde it et it, comme ics coordonne'es
rectarngulaires d'un point, cett~e cu ation de condition represente
'tine courbe qui passe 'a lorigine des coordonne'es.
Ainsi, dans le cas qui noues occupe, le's points de la surface miniaqui proviennent des points de (F) et de (F1) inlfinitnenL rapprocheis de in out pour lieu ge'ometricque la droite
Z =o,0 X _,_iY = o,
qui est tout entie're 'a distance finie-. L'tjpaLion (20) dii plan tangent se re'duit 'a la suivante:
x ~I iy =O
On voLt qu.'il esi le merme pour tons les points de la droite ()
()Si ion resiume aux courbes (U), (r,) leur position la plus girn6rale en leur
imprimant des translations convenables, les r~su1lats obtenus dans le texte
donnent le thi~or~i~ne suivant, que ion pourrait 6tablir par' la G~om6Lrie:
Si les deux courbes (U), (rj, ont en cominun Un point n cia cercie de Vi'fini et si aucane d'elles n'est tangente et ce cercie, les points cle la surface qui
pro0viennlent des portions des dear cour-bes infilniment voisines de in forment
ane dr-oite situe~e dlans le plan des tangentes en in aux deax courbes et &t
e~gale distance de l'une et de l'autre. Le plan tangent en an point quelconqae
de cette dr~oite est fixe; il contient di la fois la dr-oite et la tangenlte en m au
cer-Cle de l'infitni.