Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

INTE~GRATION DU SYSTEME LINEA111E. 27
transformations faciles 'a Fe'cluation
on encore
- f(1~~~~oc4)( qil qip) dii
i —s- C~ - e
C de'signant. la consiante arbitraire.
La quadrature qui figure dans ces forniules porte sur ilne foncLion re'elle, tonics les fois que los rotations p, q, r ci la solution
pariiculie~re d'oth 1'on est parti sont re'elles'; car alors 0-, a7 seroni
imaginaires conjuguees, ei la fonction sons le signe f, dans les
formules pre'cedentes, sera de la forme 10, 0) ktan re'elle.
Ii est donc de'montr6' que, toutes les fois que l'on connaitra
une solution particulie~re du syste'ine (I) pour laquelle la constanto
7. +-[ ~2 +~ y2 sera diff~rente de zero, la solution generale de cc
svste'me s'obtiendra par une simple quadrature.
21. Supposons maintenant que les solutions particulie~res conside'rees c~, ~, y satisfasseni 'a la relation
CL2 ~2 ~_~ -2=0
Nous commencerons par remarquer que l'une au momns des
canit's 0,, ~, y est imaginaire. On aura donc, en mettant on
vidence les parties rt'olles et les partLies imaginairos,
Cola pose", si p, q, r- sont des fonctions re'ellos do t, or. f', y
ci af", P' y" cons titnoroni elvidemmneni, deux sysiemes diff~ronts de
solutions reelles du syste~me (in), pour lesquels la sommo.2.fj2~
sera diff6renie de zero. L'application des formules (6) fera connaitre alors, sans integraiion nonvelle, la solution comple'te du
syste'me (in).
Supposons maintenant quc p, q, r- soicut des fonctions irnaginaires. On pourra poser
([) _L+t3- __
y ~~~~~C - lB3