Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

378 LIVRE III. - CHAP. VII.
I'infini corresponde a l'hypothese ui o, et admettons que la
courbe (r) soit algebrique ou, du moins, presente en ce point une
singularite algdbrique. Alors f(u) sera developpable suivant les
puissances croissantes de u et, si p et q designent deux nombres
entiers dont le second est positif, on pourra poser
p p-l p+2 p +)X
f( It) - 0 / -- i u I u / — t. - +.. Z.
=O
Nous supposerons toujours qu'aucun des exposants ' ne prend
l'une des valeurs o, I, 2. On peut toujours, en effet, supprimer
les termes correspondants a ces trois valeurs particulires des exposants en ajoutant des constantes convenablement choisies a x,
~, z, comme le montre l'equation (Io) du plan osculateur; et ces
constantes pourront toujours disparaitre dans les formulesfinales
par une translation convenable des axes coordonnes.
En mettant a profit cette remarque, nous ecrirons f(u) sous la
forme
p+),
qui donne
-3
(16 6() (t)= a)u 'I
et, par consequent,
p+ ), 4- p +
-I
( 1- 7 ) | 3 _ --- - 2
~~~~(17) Y, ) P - t)
) q
x-4- iy- - =- -'
Telles sont les expressions des coordonnees d'un point de la
courbe en fonction de it.
Pour que le point nm, correspondant a la valeur o de u, soit