Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

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LIVRE III. - CHAP. VII.

Memoire de M. Lie, nous terminerons ce Chapitre en etudiant
les nappes infinies des surfaces minima algebriques.
Dans un Memoire insere aux HIctthematische Annalen (')
M. Geiser avait etabli, par une methode interessante et feconde,
que la section de toute surface minima algebrique par le plan de
l'infini ne peut se composer que de lignes droites et du cercle de
l'infini. M. Lie s'est servi du mode de generation qui l'a guide
dans ses belles etudes pour demontrer cette proposition et la
rendre plus precise encore.
Considerons en effet la surface minima comme le lieu des
milieux des segments dont les extremites M, M, decrivent respectivement deux courbes minima (F), (Fr). Tant que les points
M, M, sont a distance finie, il en est de meme du milieu du
segment MM/l. Si l'un des points, M, par exemple, s'eloigne seul
a l'infini, le milieu du segment s'e]oigne a l'intini et vient a la
limite coincider avec M,. Supposons maintenant que les deux
points M, MI, s'eloignent simultanement a l'infini et viennent coincider respectivement avec deux points mn, m des deux courbes
(F), (Ft), situes necessairement sur le cercle de l'infini. Si les
points nz, 7mn sont distincts, le milieu de nmm sera indetermine
et pourra occuper toutes les positions sur la droite lmmin (2). Nous
obtenons ainsi ce premier resultat:
(') GEISER (C.-F.), Notiz iiber die algebraischen Alinimumsfldchlen ( Aathematische Annalen, t. III, p. 53o; I870).
(2) Soient, en effet, x, y, z, t; x', y', z', t' les coordonn6es cartdsiennes homogenes des deux points M, M,. Lorsqu'ils tendent vers leurs positions limites m,
m,, ces coordonnees auront pour valeurs limites x0, y,, z,, o; x'0, y'0, z', o. Cela
pose, les coordonnees homogenes du milieu de MMI ont pour expressions
X xt' + tx',
Y = yt' -+ ty',
Z = zt' + tz',
T 2 tt'.
Faisons tendre t et t' vers zdro, de telle maniere que lon ait toujours
t'= )t,
) designant une constante. Les coordonn6es de X, Y, Z, T divisees par t auront
pour limites les valeurs suivantes:
Xo +xo, yoo,',+ Yo Zo+ z' 0,
qui conliennent l'arbitraire X et d6finissent un point quelconque de la droite mm,.