Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

LES SURFACES AIINIMA ALGEBRIQIJES. 3~

375

qlatre, car ii n'existe pas de courbe dont le rang soiL inf6rieur "a
cc nombre; Q. est nut Si le pOle est quelconque, mais ii devient
egal 'a denux. si ce po~le a e'e pris sur la courbe (K). On a donc,
dans tous les cas,
2 R1 - 2Al --- 2>4
R - AI >-3.
Cette ine'gatite6 met en evidence ]es re'sultats suivaints, qui soiul
dius 'aM. Lie.
La classe d'une surface minima simple
MI( R' - M')-~ M'( R - M)
est au momns e'gale "a
3 (M — M'),
c'est-a'-dire au momns e'ale 'a 6. Parmi les surfaces simuples, la
Zasurface d'Enneper est donc celle don t a classe esL la plus faible.
La classe d'une surface minima double'
M ( R - Al)
est toujours supe'rieure 'a 3M, c'est-a'-dire 'a 3.
Si l'on considere une cubique gauche quil soiL nne courbe minima, elle donne effectivement une surface double de troisieme
classe, mais cette surface est imaginaire. En effet, une courbe minima ne pent etre identique "a sa COnjUgue'e quo si elle est coupece
par un plan reel quelconque, en des points imaginaires conjugues
denx 'a deux. Elle doit donc ktre ne'cessairement d'ordre pair, si la
surface double, lieu des milieux de ses cordes, est re'elle.
Si Von vent que la classe de la snrface soit e'gale 'a 4, ii faudra,
R - MI e'ant supe'rieur "a 3, que 1' on ait
Ml-, I R =5.
Il existe effectivemenL une courlbe minima re'pondant 'a la quesion. Mais nous avons de a vu. que, dans le cas oui MI i, la surace double r~eiele la plus simple est celle de MI. Henneberg.
Ainsi, il n~y a pas de suitface double r~eelie de classe inf6 -riteure a' 5.
239. Renvoyant, pour plus de details, en ce qui concerne la d6 -ermination des surfaces minima de classe on de degre' donne', au