Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

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374 ~~~~LIVRE Ill. - CHAP. VII.

a e'tant re'el, et l'on aura
Si l'on applique 'a cette surface les me'thodes indique'es plus
haut pour la dktermination de l'ordre, on reconnaftra. sans difficulte' que les courbes designees aun o 233 par (y), (y, ) souL ici
svme'triques l'une de l'autre par rapport "a l'origine et qu'Ielles sont
de l'ordre 6. Les points 'a l'infini. eLant des points simples d'intersection, A restera 3o points d'intersection 'a distance finie et
1'ordre de la surface sa-ra, par suite, e'gal 'a i5-.
238. Conside'rons -une courbe minima (K), pour laqueile on
conIt les nombres U, M. Si on la transforme par inversion, on
oiedaune nouvelle courbe minima (K1,); soient R1 el M, les
nombres relatifs "a cette courbe.
Une droite (d) rencontrant le cercie de l'infini coupe la de'veloppable forme'e par les tangentes de (K) en R - Mv points. L'inversion transforme la droit-e (d) en une droite (d, ) rencontrant
eogalement le cercie de l'infini; elle transforme la de'veloppable
formn'e par les tangentes de (K) dans la de'veloppable fornmee par
les tangentes de (K,). On. aura donc
B - AIl 121R, - M.11.
D'autre part, conside'rons un cercie passant par le pOle de inmversion; il con pera la de'veloppable forme'e par les tangentes de
(K) en 2-R points; deux de ces points sont Sur le cercie de ['infini
et comptent chacun pour lv; enfin d'autres, en noinbre que nous
de'signerons par Q, sont confondus avec le po"le. Le cercie coupera
donc la de'veloppable en
92R -! A -
points 'a distance finie et ne coYncidant pas avec le pAlle.
Si. l'on applique maintenant l'inversion, le cercie se transforme
en une droite quelconqUe et le nombre precedent devient le rang
de la courbe (K, ). On a donc
RI -- 92R - 2)M -
La valeur de R1 sera, dans tonLs les cas, positive et supe'rieure 'a