Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

LES SURFACES MINIMA ALGEBRIQUES. 373
On obtient ainsi, nous allons le reconnaitre, la surface de
M. Henneberg.
Au resle, on peut oblenir tre~s simplem'eni sons sa forme la plus
generate la -valeur de f (u) qui correspond aux surfaces doubles
reelles.
Nous avons vui, en effet, qua'1 chactuile infini a1 correspond. i
infini -I.Choisissons dans chaque groupe, d'ujne manie~re arbia1
Lraire, iun des infinis cii, - ~et reunissons tons les termes qui
correspondeni "a ces infinis. Si nous de'signons par T (u) l'ensemble
de ces termes, la fonc~ion
oui (p designe la conjuguee de T, satisfera encore "a l'e6quaiion fonctionnelle qui caracLe'rise les surfaces doubles
mais, comme elle ne contient pilus les infinis ai, clle ne pourra
pas con Lenir non plus les infinis - c se re'duira, a cosqen
aun polyno"une dai second degre' pie deLerminera le'quaiion fonctionnelle pr'ce'dente et qui sera de la forme
(I- t2 ) -i- ib (i ~-i It 2) -I t,
a, b, c de'signant. trois consLaines r~e'eles. On pourra le faire-disparalitre, si l'on vent, par une translation re'elle et l'on aura, dans
tons les cas, l'expression
f( it) -?(it) iip (-. 1-) ~a(i - t2) -1-ib(i ~-U 2) -I 2it,
qui de'finilra toutes les surfaces doubles re'elles.
Dans le cas de la surface. de M. Henneberg, on pen-t, en choisissant convenab~lement les axes, prendre

it(U