Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

372 LIVRE III. - CHAP. VII.
q et m etant au moins egaux a I, il faut prendre
q = 7 = I;
on aura done
A
f(u) = + — 1T a u2+ 3u + Y.
it - a
C'est la valeur de f( u) qui correspond a la surface d'Enneper.
Si l'on veut obtenir les surfaces de huitieme classe, il faudra
prendre
2i 1i — q = 3.
Cette equation admet l'unique solution
q =, 1721- 2,
qui donne
A A1
/f( I) = -( — ----- -{i- axOCU2 0+ -.
Alt) = (It - a)2 ^, -- P
it -a
L'ordre de la surface correspondante sera I6.
237. Proposons-nous maintenant de rechercher les surfaces
doubles 7eelles les plus simples. L'equation a laquelle satisfait la
fonction f( u) (n~ 227)
f(it) _) =_(__
it I
it
nous montre que, dans ce cas, a chaque infini ai correspondra un
infini - de meme degre de multiplicite, a' designant la conjuai
guee de ai. Les nombres ni etant deux a deux egaux, la somme
Enmi sera paire, ainsi que le nombre q.
La classe
712i - q -+ I
sera done toujours un nombre impair et, comme on a evidemment
sm1 + q'4,
la classe sera au moins egale a 5. La surface, double reelle la
plus simple correspond done a l'hypothese

q - 2, 7 71 — = 712 = I.