Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

LES SURFACES MINIM~A ALGEBRIQUES.37

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figureni dans ies expressions de x, yz. La courbe est donc unmcursale, et le degr6' du de'nominateur commun de x, ~y, z sera
YEmi -H 2 q,
q'tant le nombre des racines ai. Comme les nume'rateurs de x
y, sont de degre's e6gaux ou inf6rieurs 'a celui du de'nominateur
commun, 1'ordre 0 de la courbe minima sera
(7) 0 7Tz-~-,2q =C -+-2q -2.
Proposons-nous maintenant de deierminer le rang de la conrbe,
c 'est-ah-dire le nombre des ge'neratrices de la de'veloppable qui rencontrent une droite donne'e.
Une ge'ne'ratrice de la de'veloppable est de'finie par les deux
equations
(I - ut2)X — i(I -1-t2)j' -1 — 2 Z -1-2f( It) 0
-it X- iuy -+- -- f'(t 0o.
Si 1'on exprime qufelle rencontre une droite donne'e par les
equaions 13Z - Cy A',
Cx.-Az ~B', AA'-~-B13'-tvCC'% o,
Ay - ]3x C!,
on esL conduit 'a une equation de Ja forme
A[i- iti) f' (a) ~i 2 Iif( )] -i- B i[(i -i — ut2)f '(uI) - 2It f( U)J
dont le degre' donnera le rang chierche'. 11 suffit de se reporter 'a
1'expression de f(u) pour reconnaitre que ce degre' est
(8) R -nY72?q-+- q-2 -C -d-q.
Telles souL les formules qui font reconnaitre les deaix nombres
dont dependent 1'ordre et la classe de la surface minima.
236. Proposons-nous, par exemple, de deLerminer, parmi les
surfaces que nous e'tudions, celles qui ont la classe la plus faible.
Supposons d'abord qu'il s'agisse de surfaces simples. La classe
sera egale "a