Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

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370 ~~~LIVRE III. - CHAP. VII.

c'denotes aux surfaces engendr'e pa ecubes minima dont les
tangentes forment une de'veloppable contenant une seule fois le
cercie de l'infini.
Si l'on prend 1'e'quation du plan osculateur 'a la courbe minima
sous la forme
(4) ~~~I- It2) Xi- Ii -+- t2 )y -+- 2it -It Z f
fAu), e'tant ici une fonction alge'brique de it, sera determin~e' par
une equation de la fornie
F [f(it), it] — o.
Le degre' de celte equation par rapport 'a j(tt) donne e'videminent l'ordre de mu1ltiplicite' dii cercie de 1'infini Sur la de'veloppable
dont la courbe minima est l'arete de rebroussementL. Dans le cas
que nous voulons htidier, ceute equation sera done du premier
degre' c J(it) sera Une foncti~on rationnelle de it. Les re'sultats
obtenus an no 198 en ce qui concerne la -transformation des coordonne'es nons montrent d'ailleurs que, si les axes sont quelCOnques, le degr6' du nume'rateur def(u) sera supe'rieur de deux
-unite's seulernent. 'a celui du de'nominiateur. On pourra donc poser
les termes dii second degre' n'auront aucune influence Sur le r&'sultat et peuvent meme e'Lre supprime's si lPon imprime 'a la courbe
une transla lion convenablemen t choisie.
Si l'on substi-Lue cette valeur de f(u) dans le'quation (4), on yoil
Iqu'il passera, par chaque point de l'espace, des plains -tangents de
la de'veloppable en nombre e6gal 'a,(6) C - rnzi-+- 9 -Ce nombre est la classe de la courbe: SOn expression ne nous est
pas necessaire, mais elie interviendra pour simplifier les formules.
Si l'on substitue les valeurs de f(u), f'(u), J"( it) dans tes formules (5) [p. 342-] qui donnent les coordonn6es x, y, z d'un
point de la courbe, on reconnait imme'diatement que les termes en

u - aj)fli+'(it - a2) t2~