Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

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338 ~~~LIVRIE LII. - CHAP. VII.

ce qui donne
R =zp -+- I
234. Passons maintenant "a la de'Lerrnination de l'ordre de la
surface, cjui se fait d'ailleurs d'une rnaniere moims precise. Nous
couperons la surface par une, droite (ci) assujet~tie 'a la seule condition de lie pas rencontrer la surface ~ l'infini. Supposons d'abord,
pour plus de nettete6, ciue cette droite ait e'te choisie pour axe' des
z.Ses points d'intersection avec la surface seront de'termine's par
les cleux ecquations
B (t) B o.
Si l'on const~ruit les deux courbes planes de'finies par les
eqcuations
et
le proble~me sera ramene' 'a la recherche de ceux de leurs pointus
communs qui sont 'a distance finie. Soient, (K) et, (K') les deux
courbes dont la translation engendre la surface. La courbe (y)
sera la projection de (K) sur le plan des xy; (y') sera la syme'tricque,
par rapport, 'a l'origine, de la projection de (K') sur le me'me plan.
Les ordres de (y) et, de (y') seront les me"mes, en general, que
cexde (K) etde (Kr). Sidonc nous de'sionons ces ordres par m et
in, le nombre des intersections cherch6es, egal 'a l'ordre de la
surface, sera, en general,
MM'.
ToutLefois, si les courbes (K) et (K') out, des points communs 'a
I'infini, il en sera de Meme de letirs projections. Soit to le nombre
des points 'a l'infini que l'on de'termninera par les mifthodes connues ('.Dans cc cas l'ordre de la surface sera
MM- CO.

(') Voir, ei- particulier, les diff~rents travaux de M. Halphen ins6r6s dans IC
Bulletini de la Soie~te Mnathernatique de France, le Journial de Liouville et
la traduction. francaise des Courbes planes de AL Salmon.