Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

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366 ~~~LIYRE Ill. - CHAP. VII.

l'une, que nous de'signerons par (y, ), est tangente 'a t nin; et
il re'sulte du the'orerne precedent que la developpable circonscrite
a~ la surface suivant() est un cylindre dont les ge~e'ratrices
soul paralld'es 'a pVn cest-' —dire ncne de sommet 1p. Done
Le cone circonscrit a' la sulrface mninima, cVyant son somminet
en ain point guelconquie dat cercie de Vi'm/mi, se cdecompose en
canes pluts slimpies dont chacuin est circonscrit &' la surface suivant uine courbe mzininma.
Ce point e'tant admis, commencons par conside'rer une surface
simple et soiL p. un point du cercie de l'infini. Dasignons par (K)
et (K') les deux courbes diffarentes donL la translation pent engendrer la surface. Les ge'neratrices du ca~ne circonscrit suivant
fiedes positions de (K') sont tangentes aux diverses positions
de la courbe (K). Le nombre des co~nes de sommet V., circonscrits
chac-un suivant une des positions de (K'), sera done eagal an nombre
des tangentes qie l'on penit mener d~u point V. 'a l'nne des positions
de la conrbe (K). Ce nombre, quie nous de'signerons par Al, est
evNidemment l'ordre de multiplicite' du cercle de l'infini stir la de'veloppable forme'e par les tangentes de (K). II y a done M ocnes
de somnmnet p. circonscrits sutiv'ant une des positions de (K') et
M'cnes cie 7mdene sommet circonSCritS suticant utne c/es positions de (K), Al et M' d~signant les ordres de rnultiiplicit6 dit
cercie de Vinm/ni sur les deoelopjpables forrnees par les tangentes aux deux cour7bes. La classe de la surface sera celle
de cet ensemble de Cones.
Envisageons lFun des cones circonscrits suivant nines position de
(K'), par exemple, et soit (d) une droite qutelconque passant par
le sommet p. de ce cone. Pour qu'un plan tangent 'a ce c0'De contienne la droite (d), il est ne'cessaire et suffisant que la tangente 'a
la courbe (K'), menenae an point de contact de ce plan et de la
surface mninima, rencontre la droite (ci) en un point si~tnea ' distance finie. La classe du Colne est donc e'gale an nombre des tangentes de (K') qui viennent rencontrer la droite (d) 'a distance
finie. Or ces tangentes forment une deiveloppable dont l'ordre,
que nous de'signerons par B.', a requ, comme on sait, le nom de
rang de la courbe. Cette de'veloppable est deaji coupe'e par la
droite (ci) an point pqiet mutiple d'ordre Al'. Elie rencontrera