Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

LLVRE Il. - CHAP. VII. - LES SURIFACES iAIINIAIA ALGEBRIQUES. 36

CHAPITUE YUJ
LES SURFACES MINIMA ALGBI~ItQUES.
D~terinination de la classe et de l'ordre de la surface minima alg6brique engendrt~e
par la translation de deux courbes minima donn~es. - Application au cas particulier ofi la fonction /(ut) est rationnelle. - D6termination de la surface minima r~elle, simple on double, de la classe la momns Olev&. - Points ~i linfini
des surfaces minima. - La section de la surface par le plan de linfini se compose exclusivement de droites simples ou multiples. - Points multiples b distance finie. - Surfaces minima A point conique.
233. Apre~s avoir expose, en stiivant les me'thodes de M. Lie, la
solution des proble'mes les pins e'lementaires de la the'orie, notis
allons indliqueL commient cet mimnent ge'ome'tre a de'termnine' lordre
et la classe d'une surface minima algeibrique, lorscqu'on suppose
donn~es les deux, courbes minima dont la translation petit engendrer la surface.
La determnination de la classe repose Stir le the'ore'me suivant,
qui est un cas particulier d'une proposition generale de'ja' enonc~ee
au no 84 et relative aux surfaces engendr~e's par la translation
d'une courbe invariable..La cle'eloppable circonscrite & a surface en tous les points
de une des courbesminimtia dont la tranislation enioend-e cette
sur7face est uin Cylindr-e clont les geneiratrices vont rencontr~er
le cercie cdc linfini.
Soient ()la courbe minima donnee, mn un de ses points et (y,)
la seconde courbe minima de la surface passant par le point in.
La tangente en m 'a y~ est une des ge'neratrices du cylindre circonsenit suivant v)
Ce point e'tant rappele', conside'rons le Cone circonscrit "a la surface ayant pour sommet un point quelconqtie V. du cerele de l'infini; soit u~m une gene'ratrice du Cone, tangenie en in 'a la surface.
11 passe en in deux. courbes minima de la surface (y), (y, ) dont