Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

LES FORMIULIES DE MONGE.36

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elie se trouvera, an ret our, du me'me cote' de la surface qu!au
depart. M16bmus a rem arcque le premier qui]l existe un grand nombre
de surfaces idlles que le sens de la normale se trouve change' quand
on revient an point de depart apre~s avoir parcouru un chemin
reel couvenablement cho'isi. Bornous-nous, pour plus de simuplici - icosid'rer les surfaces alg'briques. It faut 6vdemment,
pour qlue la circonstauce precedente se pre'sente, que, la surface
ait des lignes multiples re'elles.
Conside'rons, en effet, la surface paralldel 'a la propose'e, obtenue en portant sur les normales des lougucurs infinimeut petites
egales 'a p.. Taut que v-J2~ 2 W2 ne sera~pas un carre' parfait, les deux. nappes dont se compose cette surface ue constiueront analytiquement cu'une seule surface et, si l'on considere les
deux. points m, in', situe's sur la normale en un point M de la surface donne'e, ii sera toujours possible de suivre sur la surface paralle'le un chemi~n reel ou imag-inaire qui conduise de in 'a in'. Mais,
si. cc chemin est entie'rement reel, la fonction
0 (xy, z),
qui, 6gale'e 'a zero, donne e'~quation de la surface propose'e, aura
Ividemment change' de signe quan npsead ii' om
cc chemin est paralld~e 'a une nappe de la surface, il faudra. ne&cessairement qu'il en -traverse au momns une autre et, par consequent, qlue la surface propos~e ait une ligne multiple ou, an
momns, un point multiple.
II est remarquable clue la surface la plus simple posse'dant une
ligne multiple joniisse de la proprie'te singulie~re que nous e'tudions
ici. Cette surface est la surface re'gle'e du troisie~me ordre dont
nous indiquons ici la forine (fig. i 8). Si. l'on part du point in en
suivant le chemin 7nkIl-srm, on reviendra. an point de de'part
apres avoir change' de c6te ')
(1) Cet exemple nous avait 6t6 indiqu6 par 11.-S. Smith, professeur Savilien hi
Oxfordl, dont tous les g~omn6tres d6plorent la mort pr~maturde. Les diff6rentes
surfaces rdgldes du troisi~me ordre sont les transform6es homographiques de celle
qui est repr6sent~e par 1'~quation
zx2 = y2.
La figure se rapporte A la surface dont 1'6quation est
-2 ( _Z) -Zy2.