Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

LES FORAIULES DE M1ONGE.35

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tion irreductible propos~ee 'a momns que ces racines n' annulent 'a
la fois f4 et Alors la -valeur dul radical donn'e par I'' quatio
0 o
(26) se pre'senuerait constamment sous la forme - et cette e'qua0
tion 1' auraii' aucutn sens.
En appliquant ces remarques aux surfaces minima, nous obienons la proposition sui-vante
Pour qa'une surface minimna soit simp le, il faut et it sl/itt
que son equatIon? tangentie lie paisse e'tre r-amenee a' la formne
(2-4); si elle est determinee par- une equation en coor-donn7te s
ponCtuellesf(x,y, z) -o, ii faut et il saffit que les deax determninations dl r-adical
df ( qf)2 (Of)2
soient des fonctions distinetes l'une de l'autre, c'est-a'-dt'7e
que le radical soit an catrr6parfait.
Conside'rons, par exemple, l'alysseiide qui est deifinie par FlYquation
X2 -4.-y2 - ~
On a ici
V 2 2
L —'alysse'de esL donc une surface simple.
Nous pouvons maintenant completer les remarques pre'sente'es
au no '192 sur la representation d'une, surface minima par les formtules de M. Weierstrass. Bornons-nous, pour plus de nme'tL,
amx surfaces re'elles. Nous avons -vu qu'a' une meme surface on
penLi faire correspondre deux fonctions diff6rentes
5r(It et -
Les re'sultats obtenus au no 227 nous montrenL que ces deux foneLions ne seronL pas distinctes, dans le cas des surfaces doubles, on,
pluwlt, cc seront deux branches diff~rentes d'une me'me fonction.
Si, au contraire, la surface est simple, ces deux fonctions seroiit