Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

INTEGRATION DU SYSTEME LINEAIRE. 25
d' d'o dil
ou, en remplacant, -dt t - par leurs valeurs tirees de l'equation '(i3),
I dh
)d = c(o- );
) s'obtiendra donc par une simple quadrature, et l'on aura
k - 0Ce
(i5) -= 5 5()C ef- ' (Co-O1) dt
C designant une constante arbitraire.
L'equation de Riccati possede donc une des proprietes fondamentales des equations lineaires et la connaissance de chaque solution particuliere permet de faire un pas vers la solution generale.
Et, en effet, il est aise de ramener son integration a celle d'une
equation lineaire du second ordre.
Voici le procede qui nous paralt le plus elegant pour demontrcr
cette derniere proposition.
18. Posons
3 = -,
l'equation deviendra
- -- 'J. - t = a — 2 - b [j - c j.2,
dt c dt - k2,
et cette unique equation peut evidemment etre remplacee par Ics
deux suivantes
dt - _ av- (b -A)- J.,
(16) J ^
- -- c l - (b - h),
ou h designe tune fonction que l'on choisira arbitrairement (').
(1) I1 est bon de remarquer que, si 1'int6gration complete du syst6me (16) entraine celle de l'6quation de Riccati sans qu'il soit necessaire d'effectuer une quadrature, la reciproque n'est pas vraie. L'integration de I'equation de Riccati une
fois effectuee, on a seulement le rapport -; la determination de. ou de v par
les equations (i6) exige encore une quadrature.