Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

356 LIVRE III. - CHAP. VI.
Alors les deux plans seront paralleles si l'on a ul =-, et les deux
courbes seront identiques si l'on a
A(u) = f(Z).
Les formules qui definissent un point de la surface seront les
suivantes (1)
9.
XI= /( - ufu)- ) -(A)
+,2 fl (U1) — Ulfl(Ul) - fi(Ul),
(6) Y f"(U) — iu1f' (U) -4- if(u)
2
+ i + fl (U )-iul f (U ) +t if (U)*
\ Z = u/'"()-f'(u) + Ulf, (Ul) —f(Ul),
et le plan tangent aura pour equation
('7) (I - uuI)X -+ i(I -+ UU1)Y + (U - ul)Z + = 0,
E ayant pour valeur
(I8) t = 2/f()+ 2/i(u1)-(U - U1)[ / ()-/f (U1)].
C'est l'equation de la surface ecrite dans le systeme (a, u, i) qui
a ete defini et etudie aux n~s 164, 166. Elle se prete de la maniere
la plus simple a l'etude des surfaces doubles.
Dans ce cas, nous venons de le voir, on aura
(i9) f( U =fA ( ),
et, par consequent, E sera une fonction symetrique de u et de u,.
Reciproquement, exprimons que [ est une fonction symetrique
de u et de ui. Nous devrons avoir
2 f(u) -- 2f i(U) - (U - ul)[f' (u) - f (U)]
-2f(l) +- 2fi(u)-(u - t)[f/ (u) -f'(al)].
Posons
f( )-fi () = 20(U),

(1) Ces formules sont, aux notations pres, celles qui ont ete donn6es par
Bj6rling dans le M6moire analys6 plus haut [p. 279].