Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

LES FORMULES DE AIONGE.

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p designant une fonction imaginaire quelconque p(u) - iq(u) et
cp la fonction conjuguee de 7.
On trouveraiL de meme pour (ut) l'expression analogue
(I5) u2 ^\u) =-?(u)-?(- - )
En s'appuyant sur les resultats precedents, on peut demontrer
que le procede indique au n0 226 donne la courbe minima la plus
generale coincidant avec sa conjuguiee. Prenons en effet l'equation
du plan osculateur de cette courbe sous la forme
it it I
xz(u.- -- ) iy (u - ) -)- 2Z -- 2 (U) - 2i (- ( ) 0,
oi l'on a remplace f(u) par sa valeur tiree de l'quation (i4). En
identifiant 1'equation precedente avec celle d'un plan quelconque
Ux- Vy + Wz -+- P o,
on trouve
U -2 iV r U - i P
_- _ -, =-,u, ( - ()- +1- =( --
et, par consequent,
P /U- iV\ (U — iv
Cette equation definit evidemment une surface reelle a laquelle
sera circonscrite la developpable, enveloppe des plans osculateurs
de la courbe consideree.
229. Jusqu'ici nous avons employe les formules de M. Weierstrass, qui sont parfaitement appropries a l'etude des surfaces
reelles. Dans la theorie des surfaces doubles, ou il s'agit de comparer les deux courbes minima dont la translation engendre la
surface, il sera avantageux de representer les deux courbes minima de la meme maniere et de les considerer respectivement
cotmme les enveloppes des deux plans
(I-u2)x- - i(I- -u2)y 2 uz -- 2f(u) =o,
(I - u1)x -- i(r — Zl)y - 2Uz -+- 2/1(ut1) = o.