Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

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LIVRE III. --- CHAP. VI.

on trouvera, e7n exprimant que ces deux plans coincident, les
relations
( I3) ul =- - () f- ( U1
U U U1
Le probleme de la recherche des surfaces doubles est ainsi
completement resolu.
228. Si l'on veut que la surface double soit reelle, il faudra que
les deux fonctions f e f, ou 3, Y, soient conjugu6es. On est ainsi
conduit a une equation fonctionnelle dont la solution est d'ailleurs
tres facile.
Posons en effet
f)= O(u),
et designons par 0O (u) la fonction conjuguee de O(u). On devra
avoir
O(u) ( u '
Mettons en evidence la partie reelle P(zt) et la partie imaginaire iQ(u) de la fonction 0. Nous aurons
P(u)= P( —
Q(u) —Q(-u)
et, par consequent,
P(u) =p( )-+-p( -
Q(U)=q(u)-q q -,
les symboles p et q designant des fonctions rielles, d'ailleurs
quelconques. On deduit de la, pour 0O(u), l'expression
0() =p(iu) +p - ') + iq(u)-iq (- -)
ou, plus simplement,
(14) f()= =(u)= (u)+ (- )
u \ u /