Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

LES FORMULES DE MONGE. 353
dition doivent satisfaire, si la surface est double, les fonctions,S(u), I (u,) de M. Weierstrass. Si nous considerons les deux
courbes
x - = (I -U2) (u) du, x - (-u\ ) l( Ui) d-l,,
(I = i-u2)(u)du, < y =- (1) l(l). du,
z -= ftc(u)du, z = - uf (t) dut,
dont la translation engendre la surface, il faut exprimer que l'une
d'elles se deduit de l'autre par une simple translation, c'est-a-dire
que l'on peut prendre pour uI une fonction de u periettant de
satisfaire aux relations
(I - u2) ( I ) du = (i - Ut) 2 (u ) dui,,
i(I +i U) ( U) dlu = - i(i - Z ) Si( ui) dCit,
u I () adu = it 1 5( t1 ) duil.
En divisant membre a membre, on trouve les deux egalites
I --- U2 I -+ U2 U
I- U 1 U2 U
qui donnent
II =- --
u
Si l'on porte cette valeur de uI dans l'une quelconque des equations precedentes, on obtient la relation
(12) 5l(al)l2 =- u2 (u),
que l'on peut mettre aussi sous la forme
~( )=)- -5 (- -.
C'estla condition cherchee, et le raisonnement prouve bien qu'elle
est suffisante.
Si l'on applique un raisonnement analogue au cas oiA les deux
courbes sont definies par leurs plans osculateurs
(I - U2) X + i( + t t2)y + 2 UZ + 2f(U) = O,
(I- U - -i(i - +U1 )y + i-az +- 2/f(ul) =,
D.- I. 23