Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

352 LIVRE III. - CHAP. VI.
L'equation d'un plan tangent au cercle de l'infini est
(8) (I - Uz2) -x i(l -I- Tz) -T- 1 Z + - 2 = 0.
Exprimons que ce plan est aussi tangent a la surface, nous
aurons l'equation
(9) F[l — 2, i(l4- U-2), 2U, 2]- 0,
ou plus simplement, en tenant compte de l'homogeneite,
- - Z, i(- ), - -O
le symbole () designant une fonction reelle quelconque. La valeur
de E tiree de cette equation sera la fonction f(u) qui figure dans
les formules (5). En changeant i en - i, on aura la fonction conjuguee f (u) et la surface minima correspondante sera pleinement
de terminee.
Supposons, par exemple, que l'on considere la developpable
circonscrite a la fois au cercle de l'infini et a la parabole dont
l'equation tangentielle est
U' = WP.
On aura ici
4 u/( ) = (I - u2)2
et, par consequent,
f( ) = = / ( a) )
En substituant ces valeurs dans les formules (18) [p. 289], on
aurait les equations qui determinent la surface. C'est la plus
simple des surfaces minima doubles; elle a ete decouverte par
M. L. Henneberg (1). Nous la retrouverons plus loin.
227. On peut se placer a un autre point de vue dans la recherche
des surfaces doubles et se demander, par exemple, a quelle con(1) HENNEBERG (L.), Ueber solche lMinimalflichen welche eine vorgeschriebe7ne
ebene Curve zur geoddtisclhen Linie haben. Zurich, i875.
Ueber diejenige Minimalfldiche, welche die Neil'sche Parabel zur geodatisclhen Linie hat ( Vierteljahrschrift der Ziircherl Natuif. Ges., t. XXI).
Bestimnamng der niedrigsten Classenzahl der algebraischen Mliinimal/ldichen
(AnMali di Alatematica, 2e s6rie, t. IX, p. 54/; 1877).