Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

35o LIVRE III. - CHAP. VI.
coinme confondues a-vec (D'). 11 faudra que (D) puisse se de'duire
de (D') par deux translations e'gales et oppose'es et, par consequent,
que (D) soiL une courbe pe'riodique. R'ciprcueet, il
courbe (D) est pe'riodique, soit (d) la translation 'a laquelle on
pent la soumrettre sans qu'elle cesse de co~ncider avec elleMeme.
On reconnaitra alse'ment qu'en liii nimprirnant une translation e'gale
seulement, 'a (i), on obtient, une nouvelle conrbe (D') qni donne
la me'm'e snrface qne la premiere.
Un raisonnernent analogue montrera que, si un point quelc~onque de la surface correspond 'a deux cordes diff~rentes de la
courbe (D), cette courbe est ne'cessairernent pe'riodique.
En dehors da cas exceptionnel. ofi (D) est, pe'riodique, on pent
done affirmer qu'a' chaque surface minima double correspond
une seule courbe (D) et qne les points de la surface qui sont, les
milieux de deuLx cordes ne penvent, former uine nappe et se distribuent tout anL plus snr certaines lignes, De'cessairement multiples, de la surface.
Ce point etant ktabli, proposons-nous de trouver tontes les surfaces doubles re'elles. Soit (D) la courbe au moyen de lacjuelle on
pent engendrer la surface; on reconnait imme'diatement, en changeant i en - i, que la surface peut auss are engendre'e an moyenl
de la courbe imaginaire conjugue'e (D'). Done
Pour7 que la suriface mni nima dlouble SOit r-eelle, il est n6 -cessair~e que la courbe (D) coi'ncide avec sa conijuguede Out Puitsse,
du MO ins, s'eni de'duitie Par une translation
Reiciproquemient, supposons cjue la condition e'noncie soit
retnplie. Si la courbe coincide avec sa conjugue'e, elle contiendra,
en M eme temps que le point imaginaire MI, le point imaginaire
conjugue' MI0, et le milieu de la corde MM0 de'crira une nappe
rieele.
Si, au contraire, la courbe (D) ne coincide pas a-vec sa conjugu~ee
(D'), mais pent s'en de'duire par une translation, la surface double
correspondante 'a la courbe (D) pourra, si elle est, re'elle, etre
engendre'e aussi a-L moyen de la courbe (D'), et la remarque faite
plus haut. nous. apprend. qu'elle sera ne'cessairement transcendante
et pe'riodique. Nouls sommes ainsi conduits an r~sultat suivant