Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

434'8 LIVRE HI. - CHIP. Vi.
NNsans cesser de co~ncider avec elle-mieine. Quant an milieu p
de MN0, ii se de'duira du mnilieu p'de MM0O par la m eme translation.
Par snite, en joig'nant seulernent les points inmaginaires conjugues,
M, M0 par exernple, Sur les deUx conrbes, on n'aura pas toute la
partie re'elle de la snrface, nmais on obtiendra du momns nne portion
de la snrface dont on penit faire de'river tontes les antres en la
souniettant 'a la translation 2AI
22~4 Ii nous reste 'a examiner l'lhypothe'se particulie're, re'serv~ee
dans les raisonniements qui prece'dent, oui les de-ux courbes (F),
(F7 ) peuvent se rarnener Fnne 'a t'autre par une simple translation.
Cette etnde nous conduira 'a la notion imuportante et nouvelle des
surfaces doubles, qui est due tout enti're 'a M. Lie.
Nous avons vu qne l'on peut,, dans la ge'neration de la surface,,
substitner anx denx courbes (F), (F1 ) deux antres conrbes (F'),
(I')qni s'en de'duisent respectivement par deux translations egales
et oppose~es. D'apres cela, si nones de~signons par (ci) la translation
qni, dans le cas aetnel, anteue (F) 'a cofflcider avec (F1), nons
pourrons linprinmer 'a (IF) la translation ()et 'a (F1 ) la translatLion - d noues obtiendrons ainsi nne seule et ne~tne conrbe
(D) qni remplacera "a la fois (F) et (F1), en sorte qne la surface
pr-oposee deelencira le lieut des indi'eux de touttes les coci~es de
cette courbe Mninimca (D).
Re'ciproquement, Si une surface admet la generation prece'dente
anooYen de la conrbe (D), it re'sulte de la proposition de'montr~ee
au no 220 qne l'on obtiendra tons les systlimes diffe'rents de.
courbes (F), (F1 ) an moyen desquels on penit engendrer la surface
en imprimant "a la courbe (D) deux translations egales et opposees.
Par suite, les courbes (F) (F1 ) relatives ~ tout svsteime de g'ne'ration de la surface ponrront toujours se de'duire l'nne de l'antre
par une simple translation.
Revenons "a la generation de la snrface an moyen de la courbe
unique (D), elle permet de reconnaitre que les deux conrbes
minima dont la translation engendre la surface sont identiques
l'un e h l'autre. Si l'on consideire en effet une corde MM, de la