Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

LES FORMU11LES DE M1ONGE.37

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]uue nfesiereo It s lai seconde cour-be, d'criria une
nappe r~eelie de in Surfa ce minilim a r- elle la plus o'enelwaie.
223. Les raisonnements pr~ecdents laissent toutefois de c OtLi
uequestion dont l'examen, offre quelcque inte'ret~. Pour cjue le
milieu de la droite qui joint deuix points so1t re'el, ii n'est pas
necessaire que les deux points SOieDt imaginaires conj ugueis. Ne
serait-il. pas possible d'obtenir des nappes re'elles en joigniant les
points de la premie~re cotirbe 'a des points de la seconde qui ne
seraient pas imaginaires conjtugue's des premiers. Les re'sultats
obtenus au Do 220 donnent la re'ponse At cette question.
En effet, soientM un point pris sur~la premiere courbe (F), No0u
point pris stir la conjugu'e (F') (fig.- I7), et soient M0), N les
Fig..
N N
TII
points imaginaires conjugues de M, N0, le premier se, trouvant
sur la seconde courbe et le second sur la premiere. Si le milieu
de la droite MN,, est re'el, il cofucidlera avec le milieu de NM0 et,
par consequent, chaque point de la nappe re'elle etant obte~u de
deux manie~res diffhre~ntes, il faudra, d'apre's les re'sultas du
no 220, que l'une des droites MATM0, MN' soit de grandeur et de
direction c~onstantes. Si cette proprie'te appartient 'a la droitLe MM0,
la courbe (F') se de'duira de (IF) par une translation determines;
noues avons de'j'a reserve' (no 220) cette hypothe~se pour une discussion spe'ciale et nouis pouvo~ns admettre ici que la droite dont
la grandeur et la direction sont invariables est le segmen tMN.
Comme la figure MNN0M0, est un paralle'ograiume, la droite MN
est e'gale et parallele 'a sa conjuguee M,, N0 et elle est, par suite, de
grandeur et de direction re'elles. La courbe (F) sera done une
courbe pe'riodique admettant une pe'riode re'elle MN et il en sera
de me'me de la courbe conjugue'e (F'). La surface minima sera
aussi pe'riodique et pourra e'tre soumise 'a la -translation re'elle