Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

346 LIVRE III. - CHAP. VI.
reelles; soient (M) une telle surface et p un quelconque de ses
points reels; soient
x = A(t), y = B(t), z -- C(t)
les equations qui definissent l'une des deux courbes minima de la
surface passant par le point p. La courbe conjuguee sera definie
par les equations
x A'(T), y = B'(-), z = C' (),
ou A'',', C' designent les fonctions conjuguees de A, B, C.
D'ailleurs elle se trouve evidemment sur la surface, passe par le
point p et y admet une tangente qui est inmaginaire conjuguee
de la tangente a la premiere courbe. Elle est done la seconde
courbe minima de la surface passant par le point p. Ce point etant
admis, ddsignons par x0, Yo, zo les coordonnees du pointp; les
equations
x A((t) + A'(A) — x,
y _B(t) +B'(T) — yo,
z =C(t)+ -C'(T)- 0
determinent une surface minima qui contient les deux courbes
precedentes et coincide, par consequent, avec la surface donnee
(M). Si l'on augmente A, A' de x~, B, B' de Y-, C, C' de z2, on
peut les ecrire sous la forme plus simple
x = A(t) + A'(T),
y B(t)+ B'(:),
z C(t) C'(- ),
A, A'; B, B'; C, C' designant encore des fonctions imaginaires
conjuguees. Reciproquement, il est evident que les formules precedentes donneront toujours une surface reelle; car il suffit, pour
obtenir des points reels, d'y remplacer t et - par des imaginaires
conjuguees. Ainsi;
Pour obtenir toutes les sulfaces reelles, on associera zune
courbe minima quelconque la cou7rbe imaginaire conjutguee,
qui est aussi minima. Le milieu de la droite qtuijoint un point
quelconque de lc premiere coulrbe aut point imacginair'e con