Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

LES FOR MULES DE MONGE.

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me e milieu et donneront le meme point de la surface. La consideration des cordes MoN_4, M0N_2 montre d'ailleurs que la surface minima sera periodique comme les courbes, et la translation pp1 a laquelle on pent la soumettre sera la moitie de celle qui
convient aux deux courbes.
Fig. i6.
__ 5l- n M l
\ /
/ \i
/ I/ N
1)2 "1) p
N-2 N- No N
En dehors du cas que nous venons de signaler et de celui oui la
courbe (F,) n'est autre que la courbe (r) deplacee parallelement
h elle-mame, les points de la surface qui forment le lieu des milieux
de deux segments differents ne pourront s'etendre sur une nappe
et formerott tout au plus une ou plusieurs courbes qui seront des
lignes multiples et, en general, des lignes doubles de la surface.
221. Apres avoir etudie d'une maniere generale la construction
geometrique qui sert de base aux travaux de AM. Lie, proposonsnous d'obtenir toutes les surfaces algebriques et toutes les surfaces
reelles. La surface sera evidemment algebrique si les deux courbes
(K), (K,), dont la translation peut engendrer la surface, sont
elles-memes algebriques. Reciproquement, si la surface est algebrique, ces deux courbes doivent l'etre aussi; car soient (k), (k')
deux positions de l'une d'elles. 11 existe une translation qui amene
(k) en (k'). Appliquee a la surface, cette translation l'amene dans
une position nouvelle ouf elle contiendra encore (k'). La courbe
(k'), etant l'intersection complete ou une partie de l'intersection
de deux surfaces algebriques, sera done algebrique. Ainsi:
Pourw obtenir toutes les surfaces algebriqeues, il fautdra
prendre pour les courbes (r), (lF), oet pour les courbes (K),
(K,) dont la translation engenedre la surface, deuix lignes
alg ebriqees.

222. Proposons-nous maintenant d'obtenir toutes les surfaces