Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

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LIVRE 111. - CHAP. YI.

surface, on obtiencIra tons les autres en imprirnlant aux detix
courbes (F), (F1 ) deux -translations e'gales et opposees.
Le re'sulta precedent joue tin ro~le essentiel dans les de'veloppements qui vont sulvre. 11 permet en partictulier de re'soudre la
question suivante
Conside'rons un mnode de generation de la surface, obtenu. ati
moyen de deux courbes (F), (F, ). Est-il possible, que les diff6rents
points de la surfaee sojent donne's de plusieurs manie'res par cetLe
generation, c'est-a'-dire soieDt les milieux de detix oti plusieurs
segments appuyant leurs extre'miLe's suir ces deux courbes?
S'il en est aiDSi, soient MM.,, MA'M' (Jig-. i5) deux droites
(ionnant le ine'me point]) de la surface. La trajeetoire de lFun des
points M', HI du point M' par exemple, se d'dunit de la trajectoire (F) du point M par Une -translation constante Mil'. Cela
pos, si epit1 aptent 'la courbe (F.,), cette courbe devra
deriver de (F) par nne simple translation. Ecartons ce cas inte'ressant qui sera sounmis plus loin 'a une e'tudle approfondie. Si, an
co-ntraire, le point M' appartient 'a la courbe (F), le point M', appartiendra "a (F,) et les deux courbes (F), (F,) pourront, etre
so-umises 'a deux, translations e'gales et contraires MM', M,, M', sans
cesser de COYhcider av'ec elles-mi~mes. Elles seront deux courbes
pei-iodiques e t, par consequent, transcendantes, admiettant la
m dme periode()
lideiproquement, toutes les fois que les courbes seront pe'riodiques et admettront la M eme pe'riode, chaque point de la surface
sera le miiieui d'Une infinite6 de segments; car soient MO, N, deux
points pris respectiv~ement sur les deux courbes. En appliquanL
dans les deux sens la translation 'a laquelle on peut soumettre les
courbes, on en de'duira deux series de points en ligne droite
*,M-, M-1, MO, All, M2.
*.., N-2, N-,, N,,) N,, N,,2.
Les segments MONO, M,N-,, M-,N,,...auront evidemnment le

(') Nous donnerons ici, et dans la suite, le nom de periociques aux courbes
ou aux surfaces, n~cessairement transcendantes, qui ne cessent pas de coincider
avec elles-mhnes quand on leur imprime tine translation dkterniinie.