Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

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3jo ~~~~LIVRE 1II. - CHAP. VI.

CHAPITRtE VI.
LES FOUMULES DE MONGE ET LEUR INTERPIftEATION GI%,OMAEtRIQUE.
Recherches de Ml. Lie. - G~n~ration dle toute surface minima par la translation
de deux courbes minima. - Etude de ce mode de g~n~ration, dktermination
nouvelle des surfaces alg6briques et des surfaces rdelles. - Surfaces minimal
doulbles. - Determination des surfaces doubles r~elles. - Courbes minima quil
sont identiques ~i leurs conjugu6es. - Les surfaces minima dans le premier
syst~me de coordonnC~es tangentielles [ucli6 an Livre II, Chap. VII. - Propri1t geometrique qui distingue les surfaces doubles des surfaces simples. -
Surfaces ci~couvertes par AMhbius et dans lesquelles on peut passer dlune face
S lautre par un chem-in continu.
2'18. Les Chapitres precedents contiennent 1'expositeon d'unc
serie de re'stiltats qui reposent sur la forrne particalie're donn~ee
aux formules de Monge par Al. Weierstrass. Dans des travaux re'cents (1), AI. Sophus Lie est revenu aux equations de M~onge; ii1
en a donne' 1interpre'Lation gc'ome'4riq-ue la plies e'lgantLe et il a mis
en evidence Lout le parti que l'on pent en tirer dans 1'e6tude et
dans la Lhe'orte alge'brique des surfaces minima. Notes allons dvewlopper, dans ce ChapiLre, les principes de la meth ode de MI. Lie.
Reprenons les formules de Monge
x — A(t)-+- Al(-,),
oiu les fonctions A,., A1,,.- satisfont au~x conditions
{dA2 clB2 + dO2 o 0
()S. LIE, Beitrdge zur Tlieorie cler Mliiimalfldicheen. I. Projectivische Unztersutchungenz iibe- oalgebraische Mlinlienalfldchen (Mathernatisclhe Ann7ale7n,
t. XIV, p. 33i; 1878). - II. Aletrisclhe Unte7rsuchungenl fiber~ al-ebraischle Millimal/leichenl, mbme Recucil (t. XV, p. 4165; i8-g) Le recherceb eM i
avaicot dejA Wt publi~es en partie dans les Archiv for- Mat hematik og Naturviclenskab (t. 1I, p. 157 et 338, 1877; t. Ill, p. i66, 22/4 et 34~o).