Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

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338 ~~~LIVRE III. - CHIP. V.

On trouverait de Meme
(27') ~ ~ ~ ~~~ U1 C /
Les surfaces qui correspondent 'a ces valeurs des fonctions S~it),
S, (it,) jouissent bien de la proprie'te indique'e et sont, nous lavons
dej'v.(no 203), applicables sur des surfaces de re'volutilon. La
m'thode par laquelle nous les avons obtenues a 'L indiqu.epa
M. Schwarz()
Nous signalerons une remarqu able proprie'te dont cules jouissent.
Rernplacons dans les formules de M. *Weierstrass ~~ (it), 3S, (it)
par leurs valeurs precedentes ofi", pour pius de nettete', on aura
M.is in - la place de k, en sorte que l'on aura
Si l'on fait tourner la surface de 1'angle a a~utour de l'axe des Z.,
les, nouvelles valeurs de 3S(u), 3, ( it,) seront, d'apre~s les formules
S (e)- C e-Mia V7fl-2
On voit que, lorsqiie in? n'est pas nul, ces nouLvelles valeurs conviennent 'a une des surfaces associe'es 'a la propose'e. Le cas oL'1 7m
est nul correspond, nous le savons (nO 200), aux hedicofdes. On
est ainsi conduit an the'ore~me suivant
Si l'onZ conside're toutes les surfaces minimna, autr-es qute les
hdlicoirdes, qui sont app licables sitr- des surifaces cle 7reColu60tio,
elles sont superposables a' leurs surfaces assoceies;, Si 1'07n falit
tour7ner- la sur7face d'uin antgle quteleonque auto ur de son axe,
onZ obtient l'unte des SUr-faces associe'es.
Par suite, pour obtenir toutes les applications de la surface sur
elle-Meme, ii suffira. de la faire tourner d'un angle quelconqu
autou~ de son axe et de faire correspondre dans les deux positions
les points o A les plans tangents sont paralle'les.

(') SCHIWARZ, Aliscellen aits clei Gebiete der JW7im jnalficichen, P. 296. Voir
aussi BouiR, The0'oie de la cleforinmation des surf1aces, p. 99.