Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

LA SURFACE ADJOINTE DE M. O. BONNET.

333,

elle se reduira a la suivante
4 no - + 2(.' 7 - " o )-+ i -O [ 71?' I It I' - ' ( -iZ' - I'0 7)] = o,
oi l'on devra regarder 7n0, mno n, n 0, comme des constantes.
On pourrait integrer cette equation et determiner 3f(u); mais ii
est preferable de montrer que l'on peut toujours choisir les axes,
de telle maniere que les constantes mn, mo, n 0 prennent des
valeurs tres simples.
Reprenons les formules de substitution
In t 4- n 7o lUl -+- lno
v = -- v = e --- —- n0 -I- 740o /i - nu71
Nous savons qu'elles definissent un deplacement a la surface de
la sphere. Si, en particulier, nous prenons les valeurs de mn, mn0,
n, no0 tres voisines de i, i, o, o, elles definiront un deplacement
infiniment petit du point (u, u1 ) a partir de sa position initiale.
Ainsi les fornmules
(din -i4-) d- c ul(i - cldo) -- Cdlio
= — 9 V I --
- du co 4-(t - dmo)i - u- 1 dn, 4- (i -+ d7m)
representent une rotation c12 autour d'un certain diametre de la
sphere. Si nous prenons ce diametre pour axe des z, il faudra que
l'on ait.cl(.cl%
dn =c dno = o, dm/ i -, dno - --- i
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et, par consequent,
/1' = n0I = 1 0 7in = i - - i - ~
2 2
Portant ces valeurs dans l'equation a laquelle doit satisfaire S(l ),
nous trouverons
3r(u)
2,iX' - iO'- -4- iX't — O
et, par suite,
u '(u) =,
k designant une constante. En integrant, on a
(27) 5 (i,) = C k.

D. - I.

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