Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

334 LIVRE III. - CHAP. V.
cables l'une sur l'autre avec orthogonalite des elements et les
lignes de courbure de l'une correspondent aux asymptotiques de
l'autre. Les surfaces qui correspondent a une valeur quelconque
de c. sont les helicoides deja rencontrees aux n~s 75 et 180.
216. Apres avoir obtenu une famille de surfaces minima applicables sur une surface minima donnee, proposons-nous de rechercher, d'une maniere generale, toutes les surfaces minima
applicables sur une surface minima donnee (v). Soit
ds2 =- (-I UUi 1)2 3S(U)) dU (i1) du du
l'element lineaire de cette surface et soit
ds2 = (I + VV1)2 5( V) (j1(v1) dv dv1
l'element lineaire d'une autre surface minima (S'). Pour qu'elles
soient applicables l'une sur l'autre, il faudra que l'on puisse determiner v, cv en fonction de it et de it, de maniere a satisfaire a l'equation
(I -i- Vp1)2 1 (V) (j1) dv dl(l c, Ut1 ~ u)2 1i( 3() (u1) Cid cdu1.
Cette egalite ne peut etre verifie (no 117) que si l'on a
v = -?(u), Vi = +(,1),
ou
V=. p(U1), V1= >(u),? et y designant des fonctions a determiner. En donnant un sens
convenable aux normales des deux surfaces, on peut prendre
v = p(ZC), 7i-&=(Zt1),
et l'equation a verifier prendra la forme
(I?)2 (3(?) C(j Y ' (I + UUi)2 f(Z) i(t,).
Egalons les logarithmes des deux membres et prenons la derivee
seconde par rapport a u et a ui. Nous aurons
t__ _r' I
(I -p?)2 (i+ ZIu~L)O
ou encore
4 dv dvl 4 du dua
(I +- cV1)2 (I - IaU1)2