Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

332 LIVRE ILL.- CHAP. V.
limites; dans 1'exemple actuel, rien de pareil ne se prodit cet 1'ou
petit continuer inde'finiment le mouvement de deformation d.'une
portion quelconque de surface jusqu'a' ce que celle-ci revienne,
lorsque o a criu\ de 9.c 'a sa position primitive. Nous laisserons a
lecteur le soin de de'montrer que cet exemple est le seul dans lequel.
une surface puisse se de'former de telle manie~re que ses diff6rents
points de'criventL des coniques, et nous insisterons stir les proprie'tes
ge'ome'triques suivantes, u ou " L Signal'es par M. 0. Bonnet.
Nous avons -vu que, si 1'on considere la surface minima correspondante 'a un syste'me de valeurs de 3 (it), J, (it,) et si l'on pose
les 1ignes de cotirbure sonL de'finies par les equations
x, —const. yi - conlst.
etles lignes asyumptotiqnLes par les e'quations
x -y =const., xi-j - const.
Pour passer de la surface pr6,ccdente 'a tonic autre surface
associe'e, il faudra remplacer S (u), f, (it,) par f (it) eiu, 3,, (it,.) -iu,
et les uouvelles valeurs x', y'1 de x,, y1 seront de'filies par les
form 1es
x'- i - e 2 ( X1 +y Iy),
q-ui'donnent
~ 1X1 COS- -Yi Slfly
(23)
Y XISill-a-I —> 2o
Par suite ]es lignes de courbure de la surface associe'e seront
deifinies par les equations

x, cos- -yj sin- =const., X~ sin- -I —y cos - - const.,
2 2 2 2