Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

LA SURFACE ADJOINTE DE. M. 0. BONNET. 331
(sadmettant pour lignes conjugue'es ses lignes de longueuir nulle,
sera une surface minima. It en sera e6videmment de Mmaie de la
surface (v,). De plus, les formules (20) elz (21 ) montrent qLI'Iaux
points correspondants des deux surfaces, les lignes de longueur
nulle correspondantes auront la Me~me direc Lion; et, par consequent, les plans tangents aux deux surfaces seront para~lleles.
Re'ciproquement, si l'on prend deux surfaces minima quelconqutes et si l'on 'Labl'L la correspondance entre les points de
ces surfaces par la condition que les plans tangents y soient paralledes, pour ces points correspondants les quantite's it et u1 qui
figurent dans les fornmules de M. Weierstrass auront tes Memes
valeurs; et ces formules nous permettent de veirifier que tontes les
relations (i19) serontL satLisfaites. Ces deux surfaces donneront donc
effectivement la solution generale du proble'me propose.
Si deux surfaces sont applicables l'une sur l'autre, la correspondance e~tablie entre leurs points determine 6videmment u
trace' ge'ographique de l'une d'elles sur i'autre. La proposition
que nous venfons d'e'tablir, jointe 'a celle que nous avous obten-Le aunno 213, nouis permet donc d'e6noncer les re'sultats
suivants
Si deitx silrfaces sont aipplicables l'7tne surl- l'aUt7e de telle
7nanie're que les eleinents corriespondantS fassent en tle eitx un
aingle constant, cc sont ntecessairement deux sitrfaces minima
associees et les plans tang-ents aux points corr1esponclants sont
par-alIeiles.
Si deutx s11rfelces son1t applicables l'an7-e sarl l'ciutr-e avec or -
thogonaclite' des ele'ments corriesponidants, elles nie pea cent e1re
que detix sur-faces minimna don1t l'une est adjointe a' l'aatre.
215. Nons ne quitterons pas ce sujet sans remarquer que les
formules (.7) donnent un nouvel exemple Ud'ue surface se de'formant d'une mnanie're continue sans cesser d' tre applicable sur
elleM eme. Lorscque c., vanle, chaque point de la surface d~crit
une ellipse ayant son centre 'a l'origine des coordo~ne'es. 11 y a
ici une remarque essentielle 'a faire. DaDs l'exemple du no 77, une
p ortion de la surface ne ponivait se de'former inde'finiment sans
se plier on se de'hirer de's que lPon de'passaiL certaines positions