Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

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LIVRE I. - CiAP. II.

~, y en fonction de deux variables independantes, de maniere qlue
la relation precedente soit toujours satisfaite, et de chercher les
equations differentielles auxquelles devront satisfaire ces deux
variables.
Or, si l'on regarde o.,, conmme les coordonnees d'un point dc
l'espace, l'equation (7) representera une sphere de rayon I, ayant
pour centre l'origine "des coordonnees. Considerons cette sphere
comme une surface reglee, admettant un double sysLteme de generatrices imaginaires, et prenons pour variables deux quantites
demeurant constantes respectivement sur les generatrices de chaque
systemne. Pour cela, nous poserons
(8) --- X'
\ I - Y a - i p 1
e.-if3 __ ___ -
ce qui donnera
I '! txy xy x +y
(9) u =, = =-iY, 7 = Y.
x -y x -Y x — y
Remarquons que, d'apres les formules (8), x ety seront imaginaires quand ca, 3, y seront reels, et, en outre, l'imaginaire conjugu6e de x sera - -
Y
Si nous substituons les valeurs (9) de a, p, y dans les equations
diff6rentielles, ces equations se reduiront a deux, comme on devail
s'y attendre, et, apres quelques calculs faciles, on obtiendra le
systeme
o) - irx - ip - i
dt 2 2
idr = - I q - ipY2;
- = - -r Y 9 - 9Y2
x et y doivent donc etre deux solutions differentes de la meme
equation en o
dc. q- ip q + ip
(/) =-+ --,
cdt rc-2 2
et l'integration du systeme propose est ramenee a celle de cette
seule equation. Deux solutions particulieres distinctes de cette
equation donneront toujours, par l'emploi des formules (9), des