Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

LA SURFACE ADJOINTE DE M. O. BONNET. 327
chercher si deux valeurs differentes, 5, de la fonction 5 peuvent
donner la meme valeur de ]'element lineaire, c'est-a-dire si l'on
peut avoir
(I2) (z d~ -+ dp)(z du -+- dq) = (z dcl -+- dpl)(zi dc -- dql),
z et z1 ayant d'ailleurs les valeurs suivantes, indiquees au n~ 16S,
(13) z +, - p -
L'equation (i2) peut etre verifiee de deux manieres differentes.
On peut avoir, soit
~(I-i) 1~z d3 -- dp = (i dp -4- dp),
z d3 + dq =- (lq di + dql),
soiL
z dp X+ dp = (di -l d-+ dql),
( z di + dq = (z1dp - dp),
) designant, dans les deux systemes de formules, une fonction
inconnue. Le premier systeme donne les equations
| Z -4- S = (1 A - Si), z -- s == (Z1 +I SI),
(I6) I
r.= '1, t= tl.
Si done la somme z - s n'est pas nulle, il faudra que ) soil
egal a ~ i. Alors la fonction
-: 1= -
devra satisfaire aux trois equations
R = — o, T = o, z —P a-QP +S(I+g ap3) = o,
que I'on resoudra facilement et qui donnent
= A(ap -i) + Ba+ C p,
A, B, C etant trois constantes quelconques.
On reconnaltra aisement qu'en imprimant une translation convenable a l'une des deux surfaces, on peut annuler a et avoir, par