Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

326 LIVRE, 1II. - CHAP. V.
Si l'on joint la dernie~re des equations precedenles "a la seconde des
formules (8), on pourra determiner les rapports mutuels de dxo,
dy0, dzo; ce qui donnera
dxo _ dyo __ d cl0
Z dy - Ydz -Xd, —Zdx Ydx-Xdy
La somme des carre's des nune'raLeurs esL e'gale, en verLu des
formules (8) el (i o), "a la somme des carre's des d~nominateurs. La
'valeur commune des rapporLs, precedenls esl done e'gale "a ~4 i.
Mais, si l'on remplace dans FLiun quelconque d'entre eux X, Y, Z,
dx,..., dxo,... par leurs valeurs de'duites des formules (5),
(6) el (9), 011 obLienL - ipouir la valeur commune des trois rapports. On a done
IX 0 Y dzk - Z dy,
(H) ~~~~~dy 0 Z dx - X dz,
zo — X dy - Y d
eL x0, yo, z0 seronL delermines. par l'inlegralion de ces trois diff&renLielles "a deux variables inde'pendanLes, que l'on peut toujours
former quand on connail e'~qutalion de la surface.
Lagrange, nous l'avons vu (no 175i), avail de'ja remarque que
l'expression
Xy-Ydx — d-dx
doi eLre une' diff6renLielle'exacte.
2'13. Nous avons reconnun que deux surfaces associe'es soul
aippli~cables l'une sur l'aulre, eL que les plans tangenls aux points
correspondanls sonL paralli'les. Re'ciproquemienl, Si deuix surifaces
sont app licables l'une Sul l'autre et si les plans tangents auzx
points Corr7espondantS sont par-aibes, cels sont ne'essairement
deuix surfaces 72inimia associe-es. Pour e'Lablir elle proposilion,
nous emploierons le svsLe~me de coordonne'es Langentielles (0c,,)
du no 1653, dans lequel l'expression de Fele'rnent line'aire est
dJS2o -(zclf3~cl- p )(z di-+ dq ).
Pour deux plans tangents paralle"Ies, on peul toujours supposer
que les coordonne'es c. eL fB ont la mc"mne valeur. 1i fauL done re