Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

3)20 LIVRE III. - CIIAP. IV.
dans ]es applications et qu'il est bon de connaitre. Nous allons les
signaler rapidement.
Prenons d'abord l'element lineaire de la sphere sous la forme
d -2: 4 dx clY
(x -y)d
Si l'on remplace x et y par des fonctions A et B de a et de, on
aura
d 2 4.A'B' dt d3.
(A -- )
Par suite, on trouvera, pour l'element lineaire de la surface minima, la forme
ds92 ( -- dB.
4 A' 13'
En substituant ia. et a [ les variables
c ^-j." '1 =.'2 Y,
on aura
(17) ds — (Al — BI)2 da dal.
Cette forme a ete obtenue par M. O. Bonnet et par Bour.
Si l'on emploie la forme
d5a2 4 dcx ly
(I i- j- y )2
pour 'ele'ment lineaire de la sphere, on sera conduit de meme a
l'expression suivante de l'element lineaire de la surface minima
(18) ds9= (+Ai ]A31)29 dd3ll,
qui est due 'a A. Lie.
209. Nous terminerons ce Chapitre en signalant d'autres traces
geographiques de la surface sur lesquels Riemann et M. Beltrami (') ont appele 1'attention.

(') RIEIMANN (B.), Ueber die Fliche voin kleinsten Inhalt bei gegebener Begrenzung (OEuvres completes, p. 283).
BELTRA.MI (E.), Suile propriet& generali delle supelficie d'area -minima
(lMemoires de l'Academnie des Sciences de Bologne, 2e serie, t. VII, 1868).