Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

31 8 LIVRE III. - CHAP. IV.
Nous verrons comment on peut les construire geometriquement.
II resulte d'ailleurs des formules (I4) que les lignes de courbure
sont des courbes unicursales du troisieme ordre; et nous allons
montrer qu'elles sont rectijiables.
En effet, le calcul de l'l.ement lineaire de la surface nous donne
ici
ds2 9[I + -2 + f32]2(d12 d32),
ct si lon fait, par exemple, -- const., on aura
ds = 3(1 + C2 4- 2)d-,
et, en integrant,
s = 3 ( -tI +2)a - X3.
Laissant au lecteur le soin de demontrer que les lignes asymptotiques sont a la fois des helices et des cubiques gauches rectifiables, nous allons chercher ce que devient ici la generation que
nous avons donnee au n~ 105 pour toutes les surfaces a lignes de
courbure planes.
L'equation du plan tangent au point de parametres a, f3 prend
ici la forme
(I6) 22X -- 2p y + (a2 2- i) -- 3 -3- 3 2a 2 -- '- = o.
Si, conformement aux methodes du n0 101, on l'ecrit de la maniere suivante:
x- 4 a)2 -y2 -+ (Z-2 a2 - I)2-(y - 4 )2 _ x -( 2 132 - r)2 =- 0o,
on voit qu'il est le plan radical des deux spheres de rayon nul
(x - 4a)2 + y2 4-(.Z - 2 + i)2 =o,
X2 +(y 4 p)2 +(Z + 2 2 )2 = 0,
dont les centres decrivent deux paraboles qui sont focales l'une de
l'autre. L'application du theoreme du n0 105 nous donne done la
gdeneration suivante de la surface de M. Enneper:
Considerons dans l'espace deux paraboles qui sont focales
l'une de l'autre. La surface est l'enveloppe des plans eleves
perpendiculairement sur les milieux des cordes qui joignen t les
points de l'une des courbes aux points de l'autre. Les plans normaux aux deux paraboles aux extreniteds de l'une de ces cordes