Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

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3 i6 ~~~LIVRE Ill. - CHAP. IV.

et le'll'ment lineaire aura pour valeur
(12) ds2 ~=[co s t- h COS 2 (dX2 +dp.2).
Ces formuies out e'e donne'es par M. 0. Bonnet ()
La surface precedenie n'a pas encore e'te e'Ludie'e, croyons-nous.
Parmi ses proprie'tes, nous signalerons les suivantes
La section par le plan des xy se compose d'un nombre illimnite
de chainettes tonics e'gales, ayant leurs bases paraillees "a 1axe
des y. Ces chainettes sont des lig-nes de courbure planes de la surface. Par cette proprieie' d'avoir pour ligue de courbulre une chalnette, cjui suffirait, nous le verrons, "a la determiner, la surface se
rapproche de l'alysseide qui correspond "a l'hypothese h - o
Mais le plan de la chainette n'est pas un plan de symn'trie de la
surface- ci la coupe sous un angle constant, dout le cosinus est
Les lignes de courbure p. const. sont des courbes analogues at
la cycloide ci dont on obtiendra la forme en projetant une cycloide
allon gee sur uLn plan paralle'Ie a la base de cette courbe. Elles soul
de'finies dans leur plan par deux 6quations de la forme
x =-h -+- a sin)\,
=Va~ -h12 COs,
oU est le parame'tre variable, et elles sont rectifiables.
207. Sur une surface cjuclconque, les lignes de courbure planes
sout caracte'rise'es, nous le verrons, par la propriet6 d'admett-re
comme representation sphe'rique un petit cercle de la sphe're.
Pour obtenir toutes les surfaces minima "a lignes de courbure
planes dans les deux syste'mes, it nous suffira done de joindre 'a
la surface precedente celle qui admet, pour representat~ion sph6 -rique de ses lignes de courbure, le syste'me partLicullier de eercles
daus lequel les cercies de chaque famille sont tons tanDgents en un
nieme point et out pour projection ste'reographique deuix sysue'ncs de droites rectangulaires ( 2). La surface correspondante,

(1) CompteS r-endus, t. XLI, p. 1057; i855.
(2 1I serait inutile, on le cl6montre ais6ment, dc rechercher les surfaces minima
A lignes de courbure planes dans un. seul syst~me. En effet, toute surface minima