Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

3io LIVRE III. - CHAP. IV.
an no 142. Nous avons vu. que, si Von considre une courbe
passant en nn point lv de la surface et y adruettant une tangente MT, elle a pour representation sphe'rique une courbe
qui passe an point rn, image de Mv, en y admettant pour tangente
ntine droite perpendienlaire 'a la tangente conjugue'e de MT. Il suit.
de la' que, si deux courbes issues du point M y admetten t les
deux tangentes MT, MT', l'angle de leurs representations sphe'riqnes en m sera eg"a]?t celui des tangenles Mu, MU' conjuguees
de MT, MT'. L'indicatrice de la surface cherche'e doit done e tre
tine courbe telle que l'angle de deux quelconques de ses diametres
soiL e'gal 'a celui des diame"tres conjugue's. Cette propriet6 n'appartient qn'an cercie et "a l'hyperboie e6quilate~re; la surface eherch~e'
ne peat done e'tre qu'une sphe're ott une surface minima.
Plus ge'neralement, s'il existe sur nne surface un systetne orthog~onal adm ettant pour representation sphe'rique un svsuLeme
orthogonal et ne se confondant pas avec celni qui. est forme' par
les lignes de courbure, on arrivera 'a la In me conclusion. Car
l'byperbole e'quilatere est la senie conique pour laquelle deux diamn'tres rectangulaires ne se confondant pas avec les axes puissent
admettre comme conju gues deux diame tres rec tangulaires.
203. lInaginons, d'apre~s cela, qu'6tant donne' nn syste~me orthogonal (S) quelconque trace' sur la sphe're de rayon I, on propose de tronver toutes les surfaces (1) telles que, SIi'on effectue
leur representation sphe'rique sur la sphe're precedente, les,
courbes de la surface qui correspondent 'a ce'lles du svste'me sph&'
riqlne orthogonal (S) forment un syste~me (S') e'galement ortho-.
gonal. Le probleme ainsi pose sera susceptible d'tine double solution:on bien le syste'me (5') sera forme' des lignes de courbutre
de la surface et alors la question sera ramene'e 'a la suivante Sur
laquelle nons avons de'ja donne' quelques indications (no 162)
Trouveer les surfaces dont les lig-nes de cour-bure admettent
pour- image sphe'rique les courbes d'un syste'me or'thogonal
donne; on bien le systedme (5) ne sera pas forme6 des lignes de
courbure et, dans ce cas, la surface devra e'tre nne surface minima qui sera d'ailleurs quelconque.
Les remarques precedentes expliquent certain s re'sultats ob tenns,