Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

LIVRE III. - CHAP. IV. - REPRESENTATIONS C.ONFORMEs. 309

CHAPITRE JY.
nEPREISETNTATIONS CONFORtMES DES SURFACES MTINIMA.
EA 16ment lin6aire de la surface minima et de sa representation sph6rique. - La
representation sph6rique rdalise un trac6 g~ographique de la surface minima
sur la splidre. - Probime de Minding. - Trac6 g~ographique sur le plan dans
1equel les lignes de courbure sont repr~sent~es par les droites parall~les aux.
-axes. - Thi~or~me de Bour. - Recherche des surfaces minima & tignes de courbure planes. - Surface de M. 0. Bonnet. - Surface de M. Enneper. - Formes
dliverses de 1'616ment lin6aire. - Repr~seu'tatious planes de la surface indiqu6es
par Riemann.
202. Les re'sultats obtenus dans les Chapitres precedents coi —
duisent 'a un grand nombre de consequences. Nous allons de'velopper d'abord celles qui concernent, les difft~rentes representations de la surface.
Les formules (17) lip. 2-89] nons donnentd'abord pour 1e'le'menL
1ine'aire de la surface l'expression suivante
ai lacquelle nous joindrons' celle cjui determine 1e'le'nent line'aire
de la representation sphe'rique
(2) dr72 =cc2 -+ —clc'2~ —dc"2 -( 4dadUU1)
La com-nparaison de ce~s formuLles met en evidence une proposition
dtiiplus hauL int'reL, due ~aM.0. Bonnet:La7repreesentation sphuerique de la surface minlima 7-ealise un7e representation Con1 -fovrme, uni t7race6 geographique de la surface sur la sphe're.
1i est aise' de de'monLrer qne cette proprie'te caracte'rise les surfaces minima:Toute sur-face autr-e que la sphere, pour- la'que lie l'ang~le cle cleux Cour7bes est egal a' celui de leur-s
ireprsen tatioRS spheiriques, est necessai7rement unie surface
mrinima. Cela re~sulte imme'diatement de la proposition e'nonc~e'