Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

30o'j LIVRE 111. - ChlAP. III.
Si I'on tient compte de l'identite
1 -4 — 11tit ( 72 O V __ 0 ) ( -- I iz_ _ )'
(n'o- nov)(/n- nc1)
on dcduira des formules precedentes la relation
(Ii +Vi) (V) 1jX(vc) - (I ~ U ) ( t) 31(t1),
que nous aurions pua ecrire a pr1iori, puisque chacun des deux
membres doit representer quatre fois le carrd du rayon de courbure principal.
D'autre part, on a
d-lu o d[ t
(lit 8 (lt1 8
dv o (o- no ) 2' dv (m - nvl )9;
par consequent les formules (21) conduisent aux relations suivantes
1 (zt) cit:= (j(v) dVl2,
et l'on reconnait ainsi que les equations diffcrentielles (i 4) et (i6)
des lignes de courbure et des lignes asymptotiques ne subissent
aucun changement de forme lorsqu'on effectue la transformation.
200. Nous allons donner une application des resultats prececlents en cherchant toutes les surfaces minima qui sont en meme
temps des helicoides ou des surfaces de revolution. II suffira evidemment d'exprimer qu'il existe un deplacement helicoidal continu dans lequel la surface cherchee ne cesse pas de coincider avec
elle-meme. Prenons pour axe des z l'axe de ce ddplacement qui
est aussi celui de l'helicoide. Si l'on fait tourner la surface d'un
angle fini 0 autour de cet axe, les formules (i8) prendront ici ]a
forme tres simple
It == ve-~i tl= V1 eiO,
qui convient a ce ddplacement (n" 28) et l'on au.ra.0.0
nin = e 2, = o, 1o0 = e, 110 - 0.
En sublstituant ces valeurs des constantes dans les formules ( 21),
on trouvera

(23)

j(v) -(e-i i)e-30, -'I (l1)- = (vieiO)e)2i0,