Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

LES SURFACES MINIMA EN COORDONNEES TANGENTIELLES. 305
Pour deduire de cette equation les expressions des fonctions
g(v), g, (v ), on pourrait appliquerla mnthode generale dun~ 196;
mais, avec quelque attention, on apercoit la solution suivante
g(v) (- ) (?0o- 0V)2,
0
g ( l) -= ()( -- 71)2
ou 8 designe le determinant de la substitution
O- 11M110 -- 7I70o,
et que l'on verifiera aisement. Si l'on remplace u et ul par leurs
expressions en v, vc, on aura
( o( 1) 4 - 710 V )2 71294-n
2 g(0)_ (10-nOV)9 _20 - 1__t_0 )
} 77 ~ / fn0o- n9V/
(20) j g l('1)- ( -- )2 710 no
199. La question que nous nous etions proposee est ainsi completement resolue; car, pour obtenir les resultats relatifs au deplacement le plus general, il suffira de considerer ce deplacement
comme resultant d'une translation quelconque et d'une rotation
autour de l'origine des coordonnees, et d'appliquer successivement
les formules (I 7) et (20). Ilnous reste seulement a examiner ce que
deviennent les fonctions S(u), S1 (u, ) apres le deplacement le plus
general et, pour cela, il suffira de differentier trois fois par rapport
a v ou ca v les equations precedentes (20). On obtient ainsi, en designant par G(v), q, (,) les ddrivees g"'(v), g"'vg'"(), les equations
suivantes
2 ' 0 /7 10V -4- n
((v) - [tO — ) — (n( o '\ /V)- ( in 9 -- ov
(21) |G 892 -S / I ( -+- n
(in - nvfl9y' n -
qui font connaitre de la maniere la plus simple la forme nouvelle
des fonctions (u), 1 (ui1). II est aise d'en deduire quelques relations qui serviront de verification a nos calculs.
D.- I. 20*