Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

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LIVRE III. -- CHAP. 11II.

tangent
(tu -+ ut)X -+ i(uit- tu)Y - (ZtuUI - I)Z -- = o
deviendra
( T+ t)X + i(i t,- U)Y - (t-iU1- i)Z + = o,
f' ayant pour valeur (n~ 167)
' =, — ( U t, U1 ) —I il( /1 — ut) — ' (U - I).
On obtiendra cette nouvelle valeur de /t en substituant aux
fonctions f(u), f, (u ) les suivantes
i (u) = ( ) -- -(I- U) - ( I t2) — -
4 4 2
(I7), f((l) - (- U - (I
qui sont imaginaires conjuguees si f(u), f/ (u ) le sont aussi. Les
valeurs des fonctions S(u), S1 (u,) ne seront pas changees, comme
cel'a etait evident a priori.
Imaginons maintenant que l'on imprime a la surface une rotation quelconque autour de l'origine des coordonnees. Un point
quelconque M de la surface viendra occuper une certaine position
MI'. Soit
(v -+ Vj)X + i(Vi - V)Y - (Vl --- i)Z -+ ' - o.'equation du plan tangent en M'. On aura (no 167)
nmv i n mI 0 71 t no
(18) U = - ---- i= c770) - no in - ncv.(1) 1r i^ 5 211177ZZo -4- 7IZ70
(7In - n1 (7-)(7no- no v)
Si l'on designe par g(v), g (v,) les fonctions analogues f f(c),
f/( u) et relatives a la surface deplacee, E' aura pour expression
= 2Vg() -t- 2vg1(V) - (I -- vvl)[g'(V) -- g (V1)],
et l'on aura "a determiner g(v), g, (v,) par la condition
2 Ulf(U) + 2i uf (U1)-( I +- UUt)[f',(u) +f, ( a1)] ( - nc)(o- n~ o V1)
= 2gV) + 2 V(Y7)o -t- n ) +
= 2 Vig() -- 2cgj(cI) - (I -- c gl)[g(c) -~- g1(l)].