Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

LES SURFACES MINIMA EN COORDONNEES TANGENTIELLES. 303
On voit quie les lignes asymptotiques se de'terminent, encore par
des quadratures ( I).
On a pour letir equnation en ternies finis
(i 6) fV (it) cia ~- if 11 (it,,) dui coast.,
et ies quadciratures sont ce lies quifigur17ent d6/& clans 1'equation des lignes cie courbatre.
Pour obtenir des surfaces minima alge'bricques dont les lignes
de courbure et les ligne s asymptotiques soient alge'briques, il
suffira done de connaitre deux fonctions alge'briques f( it), f, (u,)
telles q~ue les cjuadratures suivantes
soient aussi alge'bricjues.
Lorsque la surface est re'elle, les 6'quatiions des Ilignes de courLure peuvent se'~crire
~RJW(it) dci= const., ~ ~ a i o~
et celles des lignes asymptotiques
cit u o n s'I., (i1 - it~() dci- coast.
198. Les foriiules relatives aux coordonne'es tangentie lies permetlent de re'soudre simplement une question essentielle et de
reconnaitre comment se transforment les fonctionsjf(u), f, (it),
S i),S (u, ) qtiand on effectue un changenment de coordonne'es
ou, ce qui. est la ns'me chose, quand on d&eThplce la surface en conservant les axes.
Supposons d'abord que l'on soui-nette la surface 'a une translation dont les coinposantes soient ),, u., v. L'e'quiation dui plan
()La dltermination des lignes de courbure et des lignes asynmptotiques est due
At ALv Michael Roberts qui Fa donn~e dans un M6moire Sar la sac/ace dont les
cayon1s de COarbace sof1t e~gaux, mais clicige's e7- SeaIs op1pose's, ins6r6 en i846
an Jou7rnal de Liouville, t. XI, 1_ r s6rie, p. 3oo. Ce beau travail contient aussi
des recherebes sur laire de la surface ainsi que sur la surface minima r6gl6e
laplus gln6rale.