Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

LES SURFACES MINIMA EN COORDONNEES TANGENTIELLEs. 3oi
Si 1'on donne a ita une valeur cons tanie quelconque a,, le second
mnembre devienL e'gal "a 2f(ua) augmeni6' d'un polynorme du second
degre' en it. On aura done
P de'signant un polyrnome du second degre' en u.
De Me me, on pourra prendre.
Ecrivons P ci P1 de la manie~re suivanie
En substituani les expressions de f(ui) ci de f, (it,) dans l'expression de ~ donne'e par la formule (5), on Lrouvera un re'suliat de la
orine
— 2(B -~- B1)i(a1 - u)~-i 2(C -v~ Cl1)(uu1 - )
oiile premier membre sera complekemeni connu. Cetie idenIiL6
permae' videmmeni de, determiner, autani qu'elles peu vent ie'Lire
(no 191), les consiantes A, A,,... ci par suite les fonctions f (a),
fit (a). S'1l s'agii d'une surface rdetele, on poiuirra supposer a ct
a1 imaginaires conjugue's et prendre
Al =Al Bjzz=B, C1 — C;
tes valeurs de A, B, C seront alors r6elles.
En appliquant cette methode 'a lh'hlicoide, on ob~iendra les
expressions suivantes
f (t)= -La ftA(u1)z -L uLt,
pour 1'un des syste~mes de valeurs de f(tt) ciL de f, (it,)
197. L'dquation en coordonnudes tangentielles obtenue pour
les surfaces minima conduit "a la determination la plus simple
des lignes de courbure ci des lignes asymptotiques de ces surfaces.