Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

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3oo ~~~LIVRE Ill. - CHAP. Ill.

196. Nous pre'senterons encore une remarque Sur lUecquation en
coordonne'es tangentielles des surfaces minima. EAcrivons-la avec
les variables it, it,, E; les formules (g) nous permettront sans
difficulte6 d'obtenir les fonc Lions 3(u), u i,) relatLives "a la surface. On aura
(i3) 1 -4-UU
it suffira. donc de calculer les de'rive'es secondes r- et t et d'e'liminer au moyen de l'~quation de la surface pour obtenir les
eq~uations qui donnenL les deux fonctions S (u), S, (it,).
Conside'rons, par exemple, l'hdlicoide
z=arc tang l
x
dont e'~quation en coordonne'es tangentielles est
P U
warc tangy-;
si l'on remplace U, VI XV, P par leurs expressions en fonction
des variables It, III ~ elle deviendra..it-l Uj _UtOn aura ici
7'i(T -i- iUt1) - 1(1' itt1)
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et par conseqtienL,
La determination des fonctions f(ut), f1 (it) correspondantes 'a
une surface minima donne'e peut auss SI re obtenue, mais d'une
inanie~re momns simple.
La conmbinaison des formules (5) et ( io) nous donne la relation
nouvelle