Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

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LIVRE III. - CHAP. III.

qui permettent de calculer r et t quand s est connue. On pourra
done trouver p et q par l'integration de deux diff6rentielles a
deux variables.
Ecrivons s sous la forme
(8) s = f' (ut) - uf"( Z) -+i- ( i t) - i f' (l );
nous aurons, en vertu des equations (7),
i t - -(I-:-Mi)/';(.),
( ~9 ) it~- — (I, - )fi ( i )
et, par consequent,
2I/ ( l1)- I/'.lt ('- 1 )+ tf'/.(i) -(I- +ztfl)f (U).
(10o)
q = p (s du t du,)
= - f ( ) - - f' (,) a/- I f (,l ) -( 1 -t- ~L )aaf ( Zt ).
1 est inutile d'ajouter aux valeurs de p et de q des constantes
que l'on peut toljours supposer reunies 5a( fu) et f (tu,). Si l'on
porte ces valeurs de p et de q, jointes a celles de s, dans l'equation (6), on retrouve precisement la valeur de c donnee par la
formule (5).
19O. Lnequation (5) doit etre regardee comme l'equation de la
surface, ecrite dans un systeme particulier de coordonnees tangentielles; mais, si l'on prend 1'equation dL plan tangent sous sa
forme la plus geneirale,
UX -- VY - WZ -i- P = o,
on peut aussi obtenir la relation entre U,, VW, P, qui caracterise les surfaces minima.
En identifant l'equation precedente avec la suivante
X(Z + U — ) +- iY( U --- U — ) Z ( I - I)+ -- 0,
on trouve, en effet,
U V W P U- - v2 -
I -- u t i( I1 -- G ) - t - I - t i - I