Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

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296 ~~~~LIVRE Ill. - CHAP. Ill.

CHAPITRE III.
LES SURFACES MINIAMA EN COORIDONNE'ES TANGENTIELLES.
Formules relatives au plan tangent et A la normale. - Nouvelle m~thode d'int6 -gration de 1'6quation aux d~riv~es partielles des surfaces minima. - ltquation
de ces surfaces en coordonn~es tangentielles ordinaires. - Determination des
fonctions f (u), f, (u,), S (u), u~(, ) quand la surface est donn~e, seulement
par son 6quation en coordonn~es tangentielles. - Lignes de courbure et lignes
asymptotiques, th~or~me de Al. Michael Roberts. -- Transformation que subissen t Iles fo n cti ons f ( a) f, (a), u(), u~, () qu a nd on e ffect ue o n ch a ngem en t
de coordonn~es. - D6termination de toutes les surfaces minima qui sont des
surfaces de revolution, des h~licoides ou des surfaces spirales.
193. Apre's avoir indicque les forrunles qui de'finissent les points
de la surface minima, nous allons e'tudier celles qui concernent
le plan tangent et la normale.
Soient c, c1 CT1 les cosinus directeurs de la normale. Ius seront
de'finis par les equations
C c_~c _2 AC'a - =0,
j- -i- Celf- A~- C" - 0.
Si l'on renwlace les de'rive'es de x, y, z par leurs valeurs tire'es
des formules (i7) [P. 289], on trouvera, en attribuant tin sens d'
termirne 'a la normale,
(2) C A-a1,.aI A a1 I -i aa1 I -F a1
Si l'on 6Crit l'equation du plan tangent sons la forme
(3) ~~~(a-i — a1)XA — i(a1 - a)Y ~~-(aa1 - I)Z Ai- 0,
on aura
- (a A- a1)x A+- i( a1 - a)y A~- ( aa1 -)Z
En substituant 'a la place de x, y, z leurs valeurs de'duites des